Egzamin+2008



c) math T_0(x)=1\\ T_1(x)=x\\ T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x) math

d) zera wielomianu Czebyszewa na [-1,1] to math x_j=\cos \left(\frac {2 j +1}{2 k+2}\cdot\pi \right) math Czyli nasz wielomian to: math w(x)=\frac{(x-\frac{\sqrt{3}}{2})(x+\frac{\sqrt{3}}{2})}{(-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})}+ \frac{x(x+\frac{\sqrt{3}}{2})}{(-\frac{\sqrt{3}}{2})(-2\frac{\sqrt{3}}{2})}+ \frac{x(x-\frac{\sqrt{3}}{2})}{(2\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})} math ostrzegam, że mogłem coś pomylić



a) szukamy takich wartości c,d, że minimalne będzie math max(max_{[0,a]}(\|f(x)-c\|),max_{[a,1]}(\|f(x)-d\|)) math Czyli: math \\ c=\frac{a^2}{2}\\ d=\frac{1+a^2}{2} math Błąd jest najmniejszy dla: math a=\frac{\sqrt{2}}2 math

b) same wyniki, przy takich samych oznaczeniach:

math \\ c=\frac{a^2}3\\ d=\frac{1+a+a^2}3 math

Pierwsze dwie wartości wyliczamy po prostu korzystając z wartości funkcji w punktach x_0, x_1 math f[x_0]=0, f[x_0,x_1]=\frac{f[x_1]-f[x_0]}{\frac{1}{15}}=\frac{\sum_{i=1}^{15}\frac{2}{15}^j}{\frac{1}{15}} math Ostatnia wartość jest po prostu współczynnik przy najwyższej potędze, czyli: math f[x_0,x_1,...x_{15}]=2^{15} math